Question

如圖，已知拋物線與圓相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)。

（Ⅰ）求r的取值范圍

（Ⅱ）當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時(shí)，求對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)P的坐標(biāo)。

Answer 1

 解析：（Ⅰ）將拋物線代入圓的方程，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．（1）

拋物線與圓相交于、、、四個(gè)點(diǎn)的充要條件是：方程（1）有兩個(gè)不相等的正根

∴即。解這個(gè)方程組得

.

（II）  設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、、。

則由（I）根據(jù)韋達(dá)定理有，

則

 

令，則     下面求的最大值。

方法1：由三次均值有：

     

    當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取最大值。經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)滿足題意。

法2：設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、、

則直線AC、BD的方程分別為

解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為。

設(shè)，由及（Ⅰ）得   

由于四邊形ABCD為等腰梯形，因而其面積

則將，代入上式，并令，等

，

∴，

令得，或（舍去）

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，

故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值，即四邊形ABCD的面積最大，故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為。