Question

（1）求過點(diǎn)A（2，0）且與⊙B：（x+2）²+y²=36內(nèi)切的圓的圓心的軌跡方程．
（2）設(shè)點(diǎn)P是（1）題中的軌跡上的動點(diǎn)，已知定點(diǎn)D（1，1），求|PD|+

3

2

|PA|的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，先得到圓B的圓心為B（-2，0），半徑為6，設(shè)動圓圓心為M（x，y），切⊙B于點(diǎn)C，由內(nèi)切兩圓的性質(zhì)，結(jié)合圓M的半徑進(jìn)行等量代換，可推出動點(diǎn)M到兩個定點(diǎn)A、B的距離之和為定值6，得到所求軌跡是以A、B兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓，再根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)得到它的方程．
（2）先用圓錐曲線的統(tǒng)一定義，表示出P到右焦點(diǎn)與右準(zhǔn)線距離的關(guān)系，求得

3

2

|PA|等于點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離|PN|，再結(jié)合平面幾何垂線段最短的原理，進(jìn)而推斷出|PD|+

3

2

|PA|最小值為點(diǎn)D到右準(zhǔn)線的距離，不難求得此時的距離最小值．

解答：解：（1）∵圓的方程為⊙B：（x+2）²+y²=36
∴圓心為B（-2，0），半徑r=6．
設(shè)動圓圓心為M（x，y），切點(diǎn)為C，依題意，
∵動圓與⊙B：（x+2）²+y²=36內(nèi)切
∴|BC|-|MC|=|BM|，而|BC|=6，
∴|BM|+|CM|=6．
又∵點(diǎn)A和C都在圓M上
∴|CM|=|AM|，可得|BM|+|AM|=6．
所以，M的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，其中2a=6，得a=3，
而c=2，所以b²=a²-c²=5，橢圓方程為：

x2

9

+

y2

5

=1；
（2）根據(jù)題意，定點(diǎn)D（1，1）在橢圓

x2

9

+

y2

5

=1內(nèi)，連接PD，過P點(diǎn)作PN⊥l（l為右準(zhǔn)線）于N點(diǎn)，
右準(zhǔn)線方程為：x=

a2

c

，即x=

9

2

．
由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可知，

|PA|

|PN|

=e=

2

3

，⇒

3

2

|PA|=|PN|．…（8分）
過點(diǎn)D作DG⊥l于G 點(diǎn)，交橢圓于Q點(diǎn)．
由平面幾何知識，可得|PD|+

3

2

|PA|=|PD|+|PN|≥|DQ|+|QG|=|DG|=

9

2

-1=

7

2

∴|PD|+

3

2

|PA|的最小值為

7

2

．…（13分）

點(diǎn)評：本題借助一個特殊的軌跡為例，主要考查了橢圓的定義和簡單幾何性質(zhì)，以及圓錐曲線的統(tǒng)一定義，考查了考生分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．