Question

（2009•普陀區(qū)一模）某隧道長6000米，最高限速為v₀（米/秒），一個勻速行進的車隊有10輛車，每輛車的車身長12米，相鄰兩車之間的距離與車速v（米/秒）的平方成正比，比例系數(shù)為k（k＞0），自第一輛車車頭進入隧道至第10輛車車尾離開隧道時所用時間為t（秒）．
（1）求函數(shù)t=f（v）的解析式，并寫出定義域；
（2）求車隊通過隧道時間t的最小值，并求出此時車速v的大�。�

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)相鄰兩車之間的距離與車速v（米/秒）的平方成正比建立關(guān)系式，然后求出自第一輛車車頭進入隧道至第10輛車車尾離開隧道時所用時間t的解析式；
（2）先化簡解析式，然后討論v₀與

680 k

的大小，當(dāng)v0≥

680 k

時利用基本不等式求出最小值，當(dāng)v0＜

680 k

時利用函數(shù)在（0，v₀]上的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值，最后求出相應(yīng)的速度．

解答：解：（1）依題意得，車隊通過隧道的時間t關(guān)于車隊行進速度v的函數(shù)解析式為：t=f(v)=

6000+120+9kv2

v

=

6120+9kv2

v

，其中，定義域為v∈（0，v₀]；
（2）t=f(v)=

6120+9kv2

v

=9kv+

6120

v

=9•(kv+

680

v

)，v∈（0，v₀]；
令kv=

680

v

⇒v=

680 k

，于是：
①當(dāng)v0≥

680 k

時，t=f(v)≥9•2

680k

=36

170k

；當(dāng)且僅當(dāng)v=

680 k

時，t取得最小值；
②當(dāng)v0＜

680 k

時，可知在（0，v₀]上函數(shù)t=f（v）單調(diào)遞減，則當(dāng)v=v₀時，車隊經(jīng)過隧道的時間t的最小值為tmin=f(v0)=

6120+9k v 2 0

v0

；
綜上，若v0≥

680 k

，則當(dāng)車速為v=

680 k

（米/秒）時，車隊通過隧道時間有最小值tmin=32

170k

（秒）；若v0＜

680 k

，則當(dāng)車速為v=v₀（米/秒）時，車隊通過隧道時間有最小值tmin=

6120+9k v 2 0

v0

（秒）．

點評：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，同時考查了利用基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于中檔題．