Question

【題目】已知函數(shù)/ (為常數(shù))的圖像與軸交于點(diǎn),曲線在點(diǎn)處的切線斜率為 .

(1)求的值及函數(shù)的極值;

(2)證明:當(dāng)時(shí), ;

(3)證明:對任意給定的正數(shù),總存在,使得當(dāng),恒有.

Answer 1

【答案】(1) ；（2）證明見解析；(3) 證明見解析.

【解析】試題分析: (1) 求出，由 可得的值， 得增區(qū)間， 得減區(qū)間，從而可得函數(shù)的極值；(2) 令，研究函數(shù)的單調(diào)性，只需證明的最小值大于零即可；(3) 對任意給定的正數(shù)c,取

由(2)知,當(dāng)x>0時(shí), ,所以.當(dāng)時(shí), ，從而可得結(jié)論.

試題解析：(1)由,得.

又,得.

所以.令,得.

當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞增.

所以當(dāng)時(shí), 取得極小值無極大值.

(2)令,則.

由(1)得,故在R上單調(diào)遞增,

又,因此,當(dāng)時(shí), ,即.

(3)解法一:①若,則.又由(2)知,當(dāng)時(shí), .

所以當(dāng)時(shí), .取,當(dāng)時(shí),恒有.

②若,令,要使不等式成立,只要成立.

而要使成立,則只要,只要成立.

令,則.

所以當(dāng)時(shí), 在內(nèi)單調(diào)遞增.

取,所以在內(nèi)單調(diào)遞增.

又=.

易.所以.

即存在,當(dāng)時(shí),恒.

綜上,對任意給定的正數(shù)c,總存在,當(dāng)時(shí),恒有.

解法二:對任意給定的正數(shù)c,取

由(2)知,當(dāng)x>0時(shí), ,所以

當(dāng)時(shí),

因此,對任意給定的正數(shù)c,總存在,當(dāng)時(shí),恒有