Question

（本小題滿分13分）

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)與垂直的直線和的中垂線相交于點(diǎn)．

（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)是軌跡上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，在軸上，圓（為參數(shù)）內(nèi)切于，求的面積的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，的面積取最小值

【解析】（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題設(shè)知，．

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為．       ……分

（Ⅱ）設(shè)，，，且，

故直線的方程為．

由消去參數(shù)，得．                            ……分

由題設(shè)知，圓心到直線的距離為，即 ．

注意到，化簡上式，得，同理可得

．

由上可知，，為方程的兩根，根據(jù)求根公式，可得

．                                                    ……分

故的面積為

，等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立．此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，的面積取最小值．

       ……分