Question

（本小題共8分）
已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>0，f（－1）=－2，求f（x）在[－2，1]上的值域。

Answer 1

[－4，2].

試題分析：解：設(shè)x，x∈R，且x<x，則x－x>0，由條件當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>0
所以f（x－x）>0
又f（x）=f[（x－x）+x]=f（x－x）+f（x）>f（x）。
所以f（x）為增函數(shù)。
令y=－x，則f（0）=f（x）+f（－x）.
又令x=y=0得f（0）=0，所以f（－x）=－f（x），即f（x）為奇函數(shù)。
所以f（1）=－f（－1）=2，f（－2）=2f（－1）=－4.
所以f（x）在[－2，1]上的值域?yàn)閇－4，2].                     8分
點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題意利用定義法得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求解函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題。