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        1. 已知數(shù)列{an}中,a1=1,an<an+1,設(shè)bn=
          an+1-an
          an+1
          an+1
          ,Sn=b1+b2+…+bn,求證:
          (Ⅰ)bn<2(
          1
          an
          -
          1
          an+1
          )
          ;
          (Ⅱ)若數(shù)列{an}是公比為q且q≥3的等比數(shù)列,則Sn<1.
          分析:(Ⅰ)利用作差法證明該不等式,作差后,把bn=
          an+1-an
          an+1
          an+1
          代入,通分后進(jìn)行因式分解,然后根據(jù)an<an+1判斷差式的符號;
          (Ⅱ)寫出等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,代入bn=
          an+1-an
          an+1
          an+1
          后整理得到bn=q-
          n
          2
          (1-q-1)
          ,利用等比數(shù)列求和得到Sn=(
          1
          q
          +
          1
          q
          )(1-
          1
          qn
          )
          .由q≥3利用放縮法可證得Sn<1.
          解答:證明:(Ⅰ)由題意可知an>0
          bn-2(
          1
          an
          -
          1
          an+1
          )

          =
          an+1-an
          an+1
          an+1
          -2(
          1
          an
          -
          1
          an+1
          )

          =
          an+1-an
          an+1
          an+1
          -2
          an+1
          -
          an
          an+1
          an

          =
          (
          an+1
          -
          an
          )(
          an+1
          an
          +an-2an+1)
          an+1
          an+1
          an

          又an<an+1,∴
          an+1
          -
          an
          >0
          ,
          an+1
          an
          an+1
          ,
          an+1
          an
          +an-2an+1<0
          ,
          (
          an+1
          -
          an
          )(
          an+1
          an
          +an-2an+1)
          an+1
          an+1
          an
          <0

          bn<2(
          1
          an
          -
          1
          an+1
          )

          (Ⅱ)數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=1,公比為q且q≥3的等比數(shù)列,
          an=a1qn-1=qn-1
          bn=
          an+1-an
          an+1
          an+1
          =
          qn-qn-1
          q
          3n
          2
          =q-
          n
          2
          (1-q-1)

          Sn=b1+b2+…+bn
          =(1-q-1)(q-
          1
          2
          +q-
          2
          2
          +q-
          3
          2
          +…+q-
          n
          2
          )

          =(1-q-1)•
          q-
          1
          2
          (1-q-
          n
          2
          )
          1-q-
          1
          2

          =(
          1
          q
          +
          1
          q
          )(1-
          1
          qn
          )

          ∵q≥3,∴0<
          1
          q
          +
          1
          q
          1
          3
          +
          1
          3
          =
          3
          +1
          3
          <1

          0<1-
          1
          qn
          <1

          Sn=(
          1
          q
          +
          1
          q
          )(1-
          1
          qn
          )<1
          點(diǎn)評:本題是數(shù)列和不等式的綜合題,訓(xùn)練了作差法證明不等式,考查了數(shù)列的遞推式及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,考查了不等式的基本性質(zhì),是中檔題.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1-an=
          1
          3n+1
          (n∈N*)
          ,則
          lim
          n→∞
          an
          =
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=
          an
          1+2an
          ,則{an}的通項(xiàng)公式an=
          1
          2n-1
          1
          2n-1

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=
          n+1
          2
          an+1(n∈N*)

          (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (2)求數(shù)列{
          2n
          an
          }
          的前n項(xiàng)和Tn

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}中,a1=
          1
          2
          ,Sn
          為數(shù)列的前n項(xiàng)和,且Sn
          1
          an
          的一個(gè)等比中項(xiàng)為n(n∈N*
          ),則
          lim
          n→∞
          Sn
          =
          1
          1

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}中,a1=1,2nan+1=(n+1)an,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為( 。
          A、
          n
          2n
          B、
          n
          2n-1
          C、
          n
          2n-1
          D、
          n+1
          2n

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