Question

已知f（x）=（x-1）²，g（x）=4（x-1）．?dāng)?shù)列{a_n}中，對(duì)任何正整數(shù)n，等式（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0都成立，且a₁=2，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n≠1；設(shè)b_n=a_n-1．
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)S_n為數(shù)列{nb_n}的前n項(xiàng)和，Tn=Sn+

n•3n

4n-1

+

3n

4n-2

，求

lim

n→∞

Tn的值．

Answer 1

分析：（1）將a_n代入到函數(shù)g（x）、f（x）中對(duì)式子（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0進(jìn)行整理可得到（a_n-1）•（4a_n+1-3a_n-1）=0，
再由a_n≠1可得到4a_n+1-3a_n-1=0，即an+1=

3

4

an+

1

4

.再代入到b_n+1=a_n+1-1中即可得到bn+1=

3

4

bn，從而得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）根據(jù)數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式可得到nbn=n(

3

4

)n-1、Sn=1+2•(

3

4

)1+3•(

3

4

)2++n•(

3

4

)n-1，再由錯(cuò)位相減法可求出S_n的值，經(jīng)過(guò)整理可求出Tn=Sn+

n•3n

4n-1

+

3n

4n-2

的值，最后再取極限即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）∵（a_n+1-a_n）•4（a_n-1）+（a_n-1）²=0
∴（a_n-1）•（4a_n+1-3a_n-1）=0．
根據(jù)已知，a_n≠1∴4an+1-3an-1=0?an+1=

3

4

an+

1

4

.
∵b₁=a₁-1=1，
bn+1=an+1-1=

3

4

an+

1

4

-1=

3

4

(an-1)=

3

4

bn，
∴{b_n}是b₁=1，公比q=

3

4

的等比數(shù)列．
∴bn=(

3

4

)n-1
（Ⅱ）∵bn=(

3

4

)n-1，nbn=n(

3

4

)n-1
∴Sn=1+2•(

3

4

)1+3•(

3

4

)2++n•(

3

4

)n-1①

3

4

Sn=

3

4

+2•(

3

4

)2+3•(

3

4

)3++(n-1)•(

3

4

)n-1+n•(

3

4

)n②
①-②得

1

4

Sn=1+

3

4

+(

3

4

)2+(

3

4

)3+…+(

3

4

)n-1-n•(

3

4

)n=

1-( 3 4 )n

1- 3 4

-n•(

3

4

)n
∴S_n=16-4（n+4）(

3

4

)n
而Tn=Sn+

n•3n

4n-1

+

3n

4n-2

=16
∴

lim

n→∞

Tn=16

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法和數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法以及求極限的方法．考查綜合運(yùn)算能力．