Question

已知函數(shù)，

（1）若x=1時(shí)取得極值，求實(shí)數(shù)的值；

（2）當(dāng)時(shí)，求在上的最小值；

（3）若對(duì)任意，直線都不是曲線的切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）符合。

（2） ；

（3）.

【解析】

試題分析：（1）∵，∴，得          

當(dāng)時(shí)， ； 當(dāng)時(shí)，。

∴在時(shí)取得極小值，故符合。               4分       

（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，在上單調(diào)遞增，

∴                          

當(dāng)時(shí)，由得，

若，則，∴在上單調(diào)遞減。

若，則，∴在上單調(diào)遞增。          

∴在時(shí)取得極小值，也是最小值，即。

綜上所述，        8分           

（3）∵任意，直線都不是曲線的切線，

∴對(duì)恒成立，即的最小值大于，

而的最小值為，∴，故.  12分

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基本問題，主要依據(jù)“在給定區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)值非負(fù)，函數(shù)為增函數(shù)；導(dǎo)函數(shù)值非正，函數(shù)為減函數(shù)”。確定函數(shù)的極值，遵循“求導(dǎo)數(shù)，求駐點(diǎn)，研究單調(diào)性，求極值”。不等式恒成立問題，往往通過構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的最值，使問題得到解決。