Question

（2009•宜春一模）四個(gè)大小相同的小球分別標(biāo)有數(shù)字1、1、2、2，把它們放在一個(gè)盒子中，每次試驗(yàn)均是從中任意摸出兩個(gè)小球記下標(biāo)號(hào)并放回，設(shè)它們的標(biāo)號(hào)分別為x、y，記ξ=x+y．
（1）若一次試驗(yàn)中ξ的值為偶數(shù)，則稱為一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生了，求五次試驗(yàn)中事件A發(fā)生至少四次的概率；
（2）求一次試驗(yàn)中隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）先求出每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率，然后根據(jù)五次試驗(yàn)至少發(fā)生四次的概率為P=P₅（4）+P₅（5），由n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率公式解之即可；
（2）隨機(jī)變量ξ的所有取值為2、3、4，根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率公式求出相應(yīng)的概率，列出分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式解之即可．

解答：解：（1）依題意知：每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為P=P（ξ=2）+P（ξ=4）=

1

3

（3分）
則五次試驗(yàn)至少發(fā)生四次的概率：
P=P₅（4）+P₅（5）=

C

4 5

(

1

3

)4

2

3

+(

1

3

)5=

11

243

（6分）
（2）隨機(jī)變量ξ的所有取值為2、3、4．
P（ξ=2）=

1

6

；P（ξ=3）=

C 1 2 •C 1 2

6

=

2

3

；P（ξ=4）=

1

6

．（9分）
ξ的分布列是：

ξ	2	3	4
P	1 6	2 3	1 6

ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=2×

1

6

+3×

2

3

+4×

1

6

=3（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的期望與方差，以及n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．