Question

已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）同時(shí)滿足如下三個(gè)條件：①對(duì)于任意x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0；③f（3）=-1
（1）計(jì)算f（9），f(

3

)的值；
（2）證明f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)；
（3）有集合A={（x₀，y₀）|f（x₀²+1）-f（5y₀）-2＞0，x₀，y₀∈（0，+∞）}，B={(x0，y0)|f(

x0

y0

)+

1

2

=0，x0，y0∈(0，+∞)}．問：是否存在（x₀，y₀）使（x₀，y₀）∈A∩B．

Answer 1

分析：（1）利用x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），令x=3，y=3，代入可得f（9），令x=

3

，y=

3

，代入可得f（

3

）；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，設(shè)任意x，y∈（0，+∞），且x＜y，通過作差，證明f（x）＞f（y）即可證明f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)
（3）先利用已知計(jì)算f（1）=0，f（

1

3

）=1，f（

1

9

）=2，再利用f（xy）=f（x）+f（y）和函數(shù)單調(diào)性，將不等式f（x₀²+1）-f（5y₀）-2＞0等價(jià)轉(zhuǎn)化為x₀²+1＜

5

9

y₀），將方程f(

x0

y0

)+

1

2

=0轉(zhuǎn)化為

3 x0

3y0

=1，二者聯(lián)立判斷不等式是否有正解即可

解答：解：（1）∵對(duì)于任意x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）∴f（9）=2f（3）=-2；f（3）=2f（

3

）=-1，∴f（

3

）=-

1

2

（2）設(shè)任意x，y∈（0，+∞），且x＜y，且

y

x

=t  （t＞1）
則f（x）-f（y）=f（x）-f（tx）=f（x）-f（x）-f（t）=-f（t）
∵當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0，∴-f（t）＞0
∴f（x）＞f（y）
∴f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)
（3）依題意可得f（1）=0，f（

1

3

）=1，f（

1

9

）=2
f（x₀²+1）-f（5y₀）-2＞0?f（x₀²+1）＞f（5y₀）+2=f（5y₀）+f（

1

9

）=f（

5

9

y₀）?x₀²+1＜

5

9

y₀）①
f(

x0

y0

)+

1

2

=0?f(

x0

y0

)+f(

3

3

)=0?f（

3 x0

3y0

）=f（1）?

3 x0

3y0

=1②
將②代入①得27x₀²-5

3

x₀+27＜0
此不等式無解
故不存在（x₀，y₀）使（x₀，y₀）∈A∩B

點(diǎn)評(píng)：本題考察了抽象函數(shù)表達(dá)式的運(yùn)用，函數(shù)單調(diào)性的定義運(yùn)用，及二者的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要運(yùn)用轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，善于將抽象問題具體化．