Question

（2012年高考（江蘇））已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列和滿足:,,

(1)設(shè),,求證:數(shù)列是等差數(shù)列;

(2)設(shè),,且是等比數(shù)列,求和的值.

Answer 1

【答案】解:(1)∵,∴.

∴ .∴   .

∴數(shù)列是以1 為公差的等差數(shù)列.

(2)∵,∴.

∴.(﹡)

設(shè)等比數(shù)列的公比為,由知,下面用反證法證明

若則,∴當(dāng)時(shí),,與(﹡)矛盾.

若則,∴當(dāng)時(shí),,與(﹡)矛盾.

∴綜上所述,.∴,∴.

又∵,∴是公比是的等比數(shù)列.

若,則,于是.

又由即,得.

∴中至少有兩項(xiàng)相同,與矛盾.∴.

∴.

∴ .

【考點(diǎn)】等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì),基本不等式,反證法.

【解析】(1)根據(jù)題設(shè)和,求出,從而證明而得證.

(2)根據(jù)基本不等式得到,用反證法證明等比數(shù)列的公比.

從而得到的結(jié)論,再由知是公比是的等比數(shù)列.最后用反證法求出.