Question

已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，若a₂+1，a₃+1，a₅成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

1

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）由題意可得(a3+1)2=a5•(a2+1)，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)表述已知項(xiàng)，求解方程可求d，進(jìn)而可求a_n
（2）由bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂項(xiàng)求和即可求解

解答：解：（1）∵a₂+1，a₃+1，a₅成等比數(shù)列．
∴(a3+1)2=a5•(a2+1)
即（2+2d）²=（1+4d）（2+d）
解可得，d=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1
（2）∵bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴sn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，數(shù)列的裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用，注意裂項(xiàng)時(shí)不要漏掉了

1

2