Question

已知函數(shù)f(x)=

lnx

x

-1
（1）試判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；
（3）試證明：對(duì)?n∈N^*，不等式ln(

1+n

n

)e＜

1+n

n

．

Answer 1

分析：（1）利用商的求導(dǎo)法則求出所給函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）利用導(dǎo)數(shù)作為工具求出函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，注意分類討論思想的運(yùn)用；
（3）利用導(dǎo)數(shù)作為工具完成該不等式的證明，注意應(yīng)用函數(shù)的最值性質(zhì)．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域是：（0，+∞）
由已知f′(x)=

1-lnx

x2

令f′（x）=0得，1-lnx=0，∴x=e
∵當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f′(x)=

1-lnx

x2

＞0，
當(dāng)x＞e時(shí)，f′(x)=

1-lnx

x2

＜0
∴函數(shù)f（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，在[e，+∞）上單調(diào)遞減，

（2）由（1）知函數(shù)f（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，在[e，+∞）上單調(diào)遞減
故①當(dāng)0＜2m≤e即0＜m≤

e

2

時(shí)，f（x）在[m，2m]上單調(diào)遞增
∴f(x)max=f(2m)=

ln(2m)

2m

-1，
②當(dāng)m≥e時(shí)，f（x）在[m，2m]上單調(diào)遞減
∴f(x)max=f(m)=

lnm

m

-1，
③當(dāng)m＜e＜2m，即

e

2

＜m＜e時(shí)
∴f(x)max=f(e)=

1

e

-1．

（3）由（1）知，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f(x)max=f(e)=

1

e

-1，
∴在（0，+∞）上恒有f(x)=

lnx

x

-1≤

1

e

-1，
即

lnx

x

≤

1

e

且當(dāng)x=e時(shí)“=”成立，
∴對(duì)?x∈（0，+∞）恒有lnx≤

1

e

x，
∵

1+n

n

＞0，

1+n

n

≠e，
∴ln

1+n

n

＜

1

e

•

1+n

n

?ln(

1+n

n

)e＜

1+n

n

即對(duì)?n∈N^*，不等式ln(

1+n

n

)e＜

1+n

n

恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用問(wèn)題，考查函數(shù)的定義域思想，考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，考查函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，注意問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化性．