Question

已知各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為S_n，且滿(mǎn)足S₄=2S₂+8．
（1）求公差d的值；
（2）若數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)的平方與其余各項(xiàng)之和不超過(guò)10，則這樣的數(shù)列至多有多少項(xiàng)；
（3）請(qǐng)直接寫(xiě)出滿(mǎn)足（2）的項(xiàng)數(shù)最多時(shí)的一個(gè)數(shù)列（不需要給出演算步驟）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)S₄=2S₂+8，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式列出方程，求出公差d即可；
（2）根據(jù)a₁大于0，小于0，等于0分三種情況，利用公差d=2及枚舉法分別得到數(shù)列至多有多少項(xiàng)即可；
（3）根據(jù)（2）總結(jié)的項(xiàng)數(shù)最多時(shí)的結(jié)論，給a₁一個(gè)實(shí)數(shù)值，即可到底滿(mǎn)足條件的一個(gè)數(shù)列．
解答：解：（1）根據(jù)題意可知：4a₁-6d=2（2a₁-d）+8，解得d=2；
（2）考慮到d=2，且首項(xiàng)的平方與其余各項(xiàng)之和不超過(guò)10，所以可用枚舉法研究．
①當(dāng)a₁=0時(shí)，0²+d+2d=0+2+4≤10，而0²+d+2d+3d=0+2+4+6＞10，此時(shí)，數(shù)列至多3項(xiàng)；
②當(dāng)a₁＞0時(shí)，可得數(shù)列至多3項(xiàng)；
③當(dāng)a₁＜0時(shí)，a₁²+a₁+d+a₁+2d+a₁+3d≤10，即a₁²+3a₁+2≤0，△=1＞0，此時(shí)a₁有解．
而a₁²+a₁+d+a₁+2d+a₁+3d+a₁+4d≤10，即a₁²+4a₁+10≤0，△=-24＜0，此時(shí)a₁無(wú)解．
所以a₁＜0時(shí)，數(shù)列至多有4項(xiàng)．
（3）a₁=-1時(shí)，數(shù)列為：-1，1，3，5；或a₁=-2時(shí)，數(shù)列為：-2，0，2，4．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式，會(huì)利用枚舉法解決實(shí)際問(wèn)題．