Question

設(shè)為關(guān)于n的k次多項式．?dāng)?shù)列{an}的首項，前n項和為．對于任意的正整數(shù)n，都成立．
（1）若，求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
（2）試確定所有的自然數(shù)k，使得數(shù)列{an}能成等差數(shù)列

Answer 1

（1）若，則即為常數(shù)，不妨設(shè)（c為常數(shù)）．
因為恒成立，所以，即．
而且當(dāng)時，，  ①
， ②
①－②得 ．
若an=0，則，…，a1=0，與已知矛盾，所以．
故數(shù)列{an}是首項為1，公比為的等比數(shù)列．
【解】（2）(i) 若k=0，由（1）知，不符題意，舍去．
(ii) 若k=1，設(shè)（b，c為常數(shù)），
當(dāng)時，，          ③
，    ④
③－④得 ．
要使數(shù)列{an}是公差為d（d為常數(shù)）的等差數(shù)列，必須有（常數(shù)），
而a1=1，故{an}只能是常數(shù)數(shù)列，通項公式為an =1，
故當(dāng)k=1時，數(shù)列{an}能成等差數(shù)列，其通項公式為an =1，此時．
(iii) 若k=2，設(shè)（，a，b，c是常數(shù)），
當(dāng)時，，          ⑤
， ⑥
⑤－⑥得 ，要使數(shù)列{an}是公差為d（d為常數(shù)）的等差數(shù)列，必須有
，且d=2a，
考慮到a1=1，所以．
故當(dāng)k=2時，數(shù)列{an}能成等差數(shù)列，其通項公式為，
此時（a為非零常數(shù)）． (iv) 當(dāng)時，若數(shù)列{an}能成等差數(shù)列，則的表達(dá)式中n的最高次數(shù)為2，故數(shù)列{an}
不能成等差數(shù)列．
綜上得，當(dāng)且僅當(dāng)k=1或2時，數(shù)列{an}能成等差數(shù)列．

略