Question

【題目】如圖，在△ABC中，BA=BC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，BC的延長(zhǎng)線于⊙O的切線AF交于點(diǎn)F．

（1）求證：∠ABC=2∠CAF；

（2）若，CE∶EB=1∶4，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2。

【解析】試題分析：（1）依據(jù)題設(shè)條件證明“∠CAF＝∠ABD”，即說(shuō)明BA＝BC，再借助等腰三角形的高線即為角平分線進(jìn)行推證；（2）借助相似三角形的性質(zhì)，即對(duì)應(yīng)邊成比例建立方程進(jìn)行求解：

解： (1) 證明：連接BD．

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠DAB+∠ABD=90°．　　　　　　　

∵AF是⊙O的切線，

∴∠FAB＝90°，

∴∠CAF＋∠DAB＝90°，

∴∠CAF＝∠ABD，　　　　　　　　　

∴BA＝BC

∴∠ABC＝2∠ABD

∴∠ABC=2∠CAF．　

（2）解：連接DE，

∵四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形，

∴∠ABC＝∠CDE，∠CED＝∠CAB，

∴△CDE∽△CBA，　

∴CD∶CB＝CE∶CA　

∴CD×CA＝CE×CB　

∴BA＝BC，∠ADB＝90°

∴

設(shè)CE=x，∵CE：EB=1：4，∴EB＝5x，

∴

∴CE=2．