Question

已知函數(shù)是偶函數(shù)，a為實(shí)常數(shù)．
（1）求b的值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，是否存在m，n（n＞m＞o）使得函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[m，n]上的函數(shù)值組成的集合也是[m，n]，若存在，求出m，n的值，否則，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)的定義域?yàn)閧{x|x}
∵f（x）是偶函數(shù)
故定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即b=0
（（2）由（1）可知，f（x）=a-定義域D=（-∞，0）∪（0，+∞）
∵f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞，0）上單調(diào)遞減
∵n＞m＞0，
∴y=f（x）在區(qū)間[m，n]上是增函數(shù)．
∴有 即方程1-，整理可得2x²-2x+1=0
∵△=4-8＜0
∴不存在正實(shí)數(shù)m，n，滿(mǎn)足題意
分析：（1）先求函數(shù)的定義域，由f（x）是偶函數(shù)可知定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可求b
（2）由（1）可知f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞，0）上單調(diào)遞減，結(jié)合已知n＞m＞0，可知y=f（x）在區(qū)間[m，n]上是增函數(shù)，從而有，求解即可判斷
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了偶函數(shù)的定義的應(yīng)用，其中定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是求解b的關(guān)鍵，而函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用是求解（2）的關(guān)鍵