Question

設(shè)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），對于任意正實(shí)數(shù)m，n恒有f（m•n）=f（m）+f（n），且當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＞0，f(

1

2

)=-1．
（1）求f（2）的值；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）解關(guān)于x的不等式f(x)≥2+f(

3

x-4

)．

Answer 1

分析：（1）利用賦值法，可令m=n=1可求得f（1）=0，再令m=2，n=

1

2

，可求f（2）的值；
（2）為定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，注意步驟；（3）利用已證的單調(diào)性把不等式轉(zhuǎn)化為不等式組

x≥ 12 x-4 x＞0 12 x-4 ＞0

求解．

解答：解：（1）對于任意正實(shí)數(shù)m，n；恒有f（mn）=f（m）+f（n）
令m=n=1，f（1）=2f（1）∴f（1）=0，
又∵f(

1

2

)=-1
再令m=2，n=

1

2

，得f(1)=f(2×

1

2

)=f(2)+f(

1

2

)
∵f(

1

2

)=-1∴f(2)=1
（2）令0＜x₁＜x₂，則

x 2

x 1

＞1
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞0∴f(

x 2

x 1

)＞0

∵f(mn)=f(m)+f(n) ∴f(x2)-f(x1)=f(x1• x2 x1 )-f(x1)

=f(x1)+f(

x2

x1

)--f(x1)=f(

x2

x1

)＞0
∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．
（3）∵f（mn）=f（m）+f（n）f（2）=1
∴f（4）=2f（2）=2
2+f(

3

x-4

)=f(4)+f(

3

x-4

)=f(

12

x-4

)
∴原不等式可化為f(x)≥f(

12

x-4

)，又∵f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)
∴

x≥ 12 x-4 x＞0 12 x-4 ＞0

∴

-2≤x＜4或x≥6 x＞0 x＞4

∴x≥6

點(diǎn)評：本題為函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，涉及不等式的解法即轉(zhuǎn)化的思想，屬基礎(chǔ)題．