Question

已知數(shù)列的首項(xiàng)．
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）記，若，求最大正整數(shù)的值；
（3）是否存在互不相等的正整數(shù)，使成等差數(shù)列，且成等比數(shù)列？如果存在，請(qǐng)給予證明；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析;（2）最大正整數(shù)的值為100;（3）滿足題意的正整數(shù)不存在.

解析試題分析：（1）由已知條件構(gòu)造出，據(jù)等比數(shù)列的定義知數(shù)列為等比數(shù)列；（2）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)公式.易得出，再解出即可;（3）假設(shè)存在，可得，由通項(xiàng)公式代入化簡(jiǎn)可得，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/6f/5/rbju31.png" style="vertical-align:middle;" />，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又互不相等，則不存在.
試題解析：解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/35/b/fbdhl3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/9d/1/1erry2.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，所以數(shù)列為等比數(shù)列.    4分
（2）由（1）可得，所以，
，
若，則，所求最大正整數(shù)的值為100.    9分
（3）假設(shè)存在滿足題意的正整數(shù)，
則，，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/dc/7/17mgy4.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
化簡(jiǎn)得，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/6f/5/rbju31.png" style="vertical-align:middle;" />，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又互不相等，
所以滿足題意的正整數(shù)不存在.      14分
考點(diǎn)：等比數(shù)列的定義，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，基本不等式，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.