Question

已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和．S_n=n²
（1）求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（2）設

bn

an

是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列{b_n}的通項公式及其前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用a₁=S₁，n≥2時，a_n=s_n-s_n-1即可求解
（2）由（1）可求b_n，然后利用錯位相減求和即可求解

解答：解：（1）當n=1時，a₁=S₁=1，
當n＞1時，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，
當n=1時，滿足上式．
即數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2n-1．
（2）因為數(shù)列{

bn

an

}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，所以

bn

an

=1×3n-1，
即bn=an×3n-1=(2n-1)3n-1．
T_n=b₁+b₂+…+b_n=1×1+3×3+…+（2n-1）3^n-1，①
3Tn=1×3+3×32+…+(2n-3)3n-1+(2n-1)3n．②
兩式相減可得得：

-2Tn=1+2(3+32+…+3n-1)-(2n-1)3n=1+2× 3-3n 1-3 -(2n-1)3n =1+3n-3-(2n-1)3n=-2-(2n-2)3n，即Tn=1+(n-1)3n

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式及數(shù)列的錯位相減求和方法的應用．