Question

給出集合A={-2，-1，-

1

2

，-

1

3

，

1

2

，1，2，3}．已知a∈A，使得冪函數(shù)f（x）=x^a為奇函數(shù)；指數(shù)函數(shù)g（x）=a^x在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)．
（1）試寫出所有符合條件的a，說(shuō)明理由；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）的單調(diào)性，并證明；
（3）解方程：f[g（x）]=g[f（x）]．

Answer 1

分析：（1）由指數(shù)函數(shù)g（x）=a^x在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，知a＞1，由冪函數(shù)f（x）=x^a為奇函數(shù)，知a=3．
（2）f（x）=x³在（0，+∞）上為增函數(shù)．用定義法進(jìn)行證明：在（0，+∞）上任取x₁，x₂，x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=(x1-x2)[(x1+

1

2

x2)2+

3

4

x

2 2

]，由x₁＜x₂，知x₁-x₂＜0，(x1+

1

2

x2)2+

3

4

x

2 2

＞0，f（x₁）＞f（x₂）．由此知f（x）=x³在（0，+∞）上為增函數(shù)．
（3）f[g（x）]=（3^x）³=3^3x，g[f（x）]=3x3，所以原方程等價(jià)于3^3x=3x3，由此能求出結(jié)果．

解答：解：（1）a=3．…1分
∵指數(shù)函數(shù)g（x）=a^x在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴a＞1，
∴a只可能為2或3．
而當(dāng)a=2時(shí)，冪函數(shù)f（x）=x²為偶函數(shù)，
只有當(dāng)a=3時(shí)，冪函數(shù)f（x）=x³為奇函數(shù)．
（只需簡(jiǎn)單說(shuō)明理由即可，無(wú)需與答案相同）…2分
（2）f（x）=x³在（0，+∞）上為增函數(shù)．…1分
證明：在（0，+∞）上任取x₁，x₂，x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=x₁³-x₂³
=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）
=(x1-x2)[(x1+

1

2

x2)2+

3

4

x

2 2

]，
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，(x1+

1

2

x2)2+

3

4

x

2 2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）=x³在（0，+∞）上為增函數(shù)．…3分
（3）f[g（x）]=（3^x）³=3^3x，
g[f（x）]=3x3，
∴3^3x=3x3，…2分
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，
得3x=x³，
∴x₁=0，x₂=

3

，x₃=-

3

． …1分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查冪函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．