是否存在正整數(shù)m，使得f（n）=（2n+7）•3n+9對(duì)任意自然數(shù)n都能被m整除？若存在，求出最大的m值，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】分析：我們將n=1，2，3，4依次代入，計(jì)算相應(yīng)的f（n）的值，由此不難得到滿足條件的m值，然后再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法對(duì)結(jié)論進(jìn)行證明．
解答：解：由f（n）=（2n+7）•3n+9，得f（1）=36，
f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜想m=36．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立．
（2）假設(shè)n=k時(shí)，f（k）能被36整除，
即f（k）=（2k+7）•3k+9能被36整除；
當(dāng)n=k+1時(shí)，[2（k+1）+7]•3k+1+9=3[（2k+7）•3k+9]+18（3k-1-1），
由于3k-1-1是2的倍數(shù)，故18（3k-1-1）能被36整除．
這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，f（n）也能被36整除．
由（1）（2）可知對(duì)一切正整數(shù)n都有f（n）=（2n+7）•3n+9能被36整除，m的最大值為36．
點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)歸納法常常用來(lái)證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時(shí)成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對(duì)一切自然數(shù)n都成立．
