Question

已知f（x）是奇函數(shù)，且x≥0時(shí)，f（x）=x²-4x+3．
求：（1）f（x）的解析式．    
（2）已知t＞0，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，而f（x）=-f（-x）可求f（x）
（2）由題意可得函數(shù)f（x）[t，t+1]上f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1開口向上且關(guān)于x=2對(duì)稱
①當(dāng)t+1≤2時(shí)，函數(shù)f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞減，g（t）=f（t+1）
②當(dāng)t＜2＜t+1時(shí)即1＜t＜2時(shí)，對(duì)稱軸在 區(qū)間內(nèi)，g（t）=f（2）
③當(dāng)t≥2時(shí)，函數(shù)f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞增，g（t）=f（t）

解答：解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x）對(duì)任意的x都成立（1分）
又x≥0時(shí)，f（x）=x²-4x+3．
∴x＜0時(shí)，-x＞0
∴f（x）=-f（-x）=-[（-x）²-4（-x）+3]=-x²-4x-3…（5分）
∴f（x）=

x2-4x+3，x≥0 -x2-4x-3，x＜0

（6分）
（2）∵t＞0
∴當(dāng)x∈[t，t+1]時(shí)，f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1開口向上且關(guān)于x=2對(duì)稱…（7分）
①當(dāng)t+1≤2時(shí)，函數(shù)f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞減
∴g（t）=f（t+1）=（t-1）²-1=t²-2t（9分）
②當(dāng)t＜2＜t+1時(shí)即1＜t＜2時(shí)，對(duì)稱軸在 區(qū)間內(nèi)
∴g（t）=f（2）=-1（11分）
③當(dāng)t≥2時(shí)，函數(shù)f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞增
∴g（t）=f（t）=t²-4t+3（13分）
綜上所述，g(t)=

t2-4t+3，t≥2 -1，1＜t＜2 t2-2t，0＜t≤1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用奇函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的解析式，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求解，要注意解題中的分類討論思想的應(yīng)用．