Question

在節(jié)能減排、保護地球環(huán)境的呼吁下，世界各國都很重視企業(yè)廢水廢氣的排放處理．盡管企業(yè)對廢水廢氣作了處理，但仍會對環(huán)境造成一些危害，所以企業(yè)在排出廢水廢氣時要向當(dāng)?shù)鼐用裰Ц兑欢ǖ沫h(huán)境補償費．已知某企業(yè)支付的環(huán)境補償費P與該企業(yè)的廢水排放量x滿足關(guān)系式P=kx³（k∈[1，10]），具體k值由當(dāng)?shù)丨h(huán)保部門確定．而該企業(yè)的毛利潤Q滿足關(guān)系式Q=

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x2+10x，
（1）當(dāng)k=1時，該企業(yè)為達到純利潤（Q-P）最大，廢水排放量會達到多少？
（2）當(dāng)x＞1時，就會對居民健康構(gòu)成危害．該地環(huán)保部門應(yīng)在什么范圍內(nèi)設(shè)定k值，才能使該企業(yè)在達到最大利潤時，廢水排放量不會對當(dāng)?shù)鼐用窠】禈?gòu)成危害？

Answer 1

分析：設(shè)純利潤為y，則y=Q-P是三次函數(shù)，對其求導(dǎo)，
（1）當(dāng)k=1時，令導(dǎo)數(shù)y'=0，得根，從而得出企業(yè)純利潤最大時x的值；
（2）由函數(shù)f（x）=-3kx²+x+10，k∈[1，10]知：圖象開口向下，且f（0）＞0，∴f（x）必有一正一負兩根，且正根為極大值點；由題意，正根不超過1，即f（1）≤0，解得k的范圍．

解答：解：設(shè)企業(yè)純利潤為y，則y=Q-P=

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x2+10x-kx3，y'=-3kx²+x+10
（1）當(dāng)k=1時，由y'=-3x²+x+10=-（3x+5）（x-2）=0，得
x=2或x=-

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3

（不合題意，舍去），∴x=2時企業(yè)純利潤最大；
（2）設(shè)f（x）=-3kx²+x+10，k∈[1，10]∵f（x）圖象開口向下，且f（0）=10＞0，
∴f（x）必有一正一負兩根，且正根為極大值點
∴根據(jù)題意得：f（x）=0的正根不超過1，
∴f（1）≤0，即-3k+1+10≤0，∴k≥

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，綜上，得k∈[

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，10].

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求三次函數(shù)的最值問題和一元二次方程根的分布問題，解題時要認真分析，避免出現(xiàn)錯誤．