Question

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為

x=-2-3t y=2-4t

(t為參數(shù))它與曲線C：（y-2）²-x²=1交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求|AB|的長(zhǎng)；
（2）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2

2

，

3π

4

)，求點(diǎn)P到線段AB中點(diǎn)M的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把直線的參數(shù)方程對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)代入曲線方程并化簡(jiǎn)得 7t²-12t-5=0，求出t₁+t₂和t₁•t₂，根據(jù)|AB|
=

(-3)2+(-4) 2

•|t₁-t₂|=5

(t1+ t 2)2-4 t1•t 2

，運(yùn)算求得結(jié)果．
（Ⅱ）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)的性質(zhì)可得AB中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)為

t1+ t 2

2

=

6

7

． 由t的幾何意義可得點(diǎn)P到M的距離為|PM|=

(-3)2+(-4) 2

•|

6

7

|，運(yùn)算求得結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）把直線的參數(shù)方程對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)代入曲線方程并化簡(jiǎn)得 7t²-12t-5=0，
設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為 t₁ 和t₂，則  t₁+t₂=

12

7

，t₁•t₂ =-

5

7

．     …（3分）
所以|AB|=

(-3)2+(-4) 2

•|t₁-t₂|=5

(t1+ t 2)2-4 t1•t 2

=

10 71

7

． …（5分） 
（Ⅱ）易得點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（-2，2），
根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)的性質(zhì)可得AB中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)為

t1+ t 2

2

=

6

7

．   …（8分）
所以由t的幾何意義可得點(diǎn)P到M的距離為|PM|=

(-3)2+(-4) 2

•|

6

7

|=

30

7

．  …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線的參數(shù)方程、點(diǎn)到直線的距離公式，用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，屬于基礎(chǔ)題．