Question

【題目】已知在四棱錐C﹣ABDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，△ABC是邊長為2的等邊三角形，AE=1，M為AB的中點．
（1）求證：CM⊥EM；
（2）若直線DM與平面ABC所成角的正切值為2，求二面角B﹣CD﹣E的大�。�

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，M為AB的中點，∴CM⊥AB．

又∵DB⊥平面ABC，

∴DB⊥CM，∴CM⊥平面ABDE，

∵EM平面ABDE，∴CM⊥EM

（2）解：如圖，以點M為坐標原點，MC，MB所在直線分別為x，y軸，

過M且與直線BD平行的直線為z軸，建立空間直角坐標系．

∵DB⊥平面ABC，∴∠DMB為直線DM與平面ABC所成的角．

由題意得tan ，即BD=2，故B（0，1，0），C（ ），D（0，1，2），E（0，﹣1，1），

∴ =（ ）， =（0，0，2）， =（﹣ ）， =（﹣ ），

設平面BCD與平面CDE的法向量分別為 =（x，y，z）， =（a，b，c），

則 ，令x=1，得 =（1， ，0）．

同理求得 =（1，﹣ ， ），

∴cos＜ ＞= =0，∴二面角B﹣CD﹣E的大小為90°．

【解析】（1）推導出CM⊥AB，DB⊥CM，從而CM⊥平面ABDE，由此能證明CM⊥EM．（2）以點M為坐標原點，MC，MB所在直線分別為x，y軸，過M且與直線BD平行的直線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B﹣CD﹣E的大小．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面垂直的性質和空間角的異面直線所成的角，掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則即可以解答此題．