Question

設(shè)b和c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)，用隨機(jī)變量ξ表示方程x²+bx+c=0實(shí)根的個(gè)數(shù)（重根按一個(gè)計(jì)）．
（Ⅰ）求方程x²+bx+c=0有實(shí)根的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知是36，滿足條件的事件是方程x²+bx+c=0有實(shí)根包括有一個(gè)實(shí)根，有兩個(gè)實(shí)根，這兩種結(jié)果是互斥的，根據(jù)互斥事件的概率公式得到結(jié)果．
（2）由題意知實(shí)根的個(gè)數(shù)只有三種結(jié)果，0、1、2，根據(jù)上一問(wèn)的計(jì)算可以寫(xiě)出當(dāng)變量取值時(shí)對(duì)應(yīng)的概率，寫(xiě)出分布列，算出期望．

解答：解：（Ⅰ）由題意知：設(shè)基本事件空間為Ω，
記“方程x²+bx+c=0沒(méi)有實(shí)根”為事件A，
“方程x²+bx+c=0有且僅有一個(gè)實(shí)根”為事件B，
“方程x²+bx+c=0有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)”為事件C
則Ω={（b，c）|b，c=1，2，3，4，5，6}
Ω是的基本事件總數(shù)為36個(gè)，
A={（b，c）|b²-4c＜0，b，c=1，2，3，4，5，6}，A中的基本事件總數(shù)為17個(gè)；
B={（b，c）|b²-4c=0，b，c=1，2，3，4，5，6}，B中的基本事件總數(shù)為2個(gè)；
C={（b，c）|b²-4c＞0，b，c=1，2，3，4，5，6}，C中的基本事件總數(shù)為17個(gè)；
又因?yàn)锽，C是互斥事件，
∴所求概率P=P（B）+P（C）=

2

36

+

17

36

=

19

36

．
（Ⅱ）由題意，ξ的可能取值為0，1，2，則
P（ξ=0）=

17

36

，
P（ξ=1）=

1

18

P（ξ=2）=

17

36

∴ξ的分布列為：

∴ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

17

36

+1×

1

18

+2×

17

36

=1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列和古典概型，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù)，本題可以列舉出所有事件，概率問(wèn)題同其他的知識(shí)點(diǎn)結(jié)合在一起，實(shí)際上是以概率問(wèn)題為載體，主要考查的是另一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，本題考查一元二次方程的解．