Question

【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若橢圓的離心率為，的周長(zhǎng)為16．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)不經(jīng)過橢圓的中心而平行于弦的直線交橢圓于點(diǎn)，，設(shè)弦，的中點(diǎn)分別為，．證明：，，三點(diǎn)共線．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）由已知橢圓E的離心率為，的周長(zhǎng)為16，解得a，b的值，可得橢圓E的方程；（Ⅱ）設(shè)，，．利用點(diǎn)差法，可得，，由此可得O，M，N三點(diǎn)共線．

（Ⅰ）解：由題意知，，．又，

，，

橢圓E的方程為；

（Ⅱ）證明：當(dāng)直線AB、CD的斜率不存在時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性知，

中點(diǎn)M，N在x軸上，O，M，N三點(diǎn)共線；

當(dāng)直線AB，CD的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，

且設(shè)，，．

則，，相減得，

，即，即，

；

同理可得，

，

所以O，M，N三點(diǎn)共線．