Question

已知f（x）=|x²-1|+x²+kx．
（1）若k=2，求方程f（x）=0的解；
（2）是否存在實數(shù)k，使得方程f（x）=0無實數(shù)解？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=0在（0，2）上有兩個解x₁，x₂，求k的取值范圍，并證明

1

x1

+

1

x2

＜4．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)k=2時，f（x）=|x²-1|+x²+2x=0，下面分兩種情況討論：①當(dāng)x²-1≥12，②當(dāng)x²-1＜0，分別解出方程f（x）=0的解即可；
（2）當(dāng)|x|≥1時，方程為2x²+kx-1=0，方程的判別式△＞0，若方程f（x）=0無實數(shù)解，則方程2x²+kx-1=0的兩實根必須都在區(qū)間（-1，1）內(nèi)，列出關(guān)于k的不等式，解出k取值范圍；當(dāng)|x|＜1時解的情形，綜上所述，當(dāng)k∈（-1，1）時，方程f（x）=0無實數(shù)解；
（3）不妨設(shè)0＜x₁＜x₂＜2，因為f(x)=

2x2+kx-1  |x＞1 kx+1|x|≤1

，所以f（x）在（0，1]上是單調(diào)函數(shù)，故f（x）=0在（0，1]上至多一個解，結(jié)合根的范圍求出當(dāng)-

7

2

＜k＜-1時，方程f（x）=0在（0，2）上有兩個解，下面求

1

x1

+

1

x2

的取值范圍，方法一：先得出則

1

x1

+

1

x2

關(guān)于k的函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性求其范圍；
方法二：因為x₁∈（0，1]，所以kx₁+1=0；①因為x₂∈（1，2），所以2x₂²+kx₂-1=0，②由①②消去k，得即

1

x1

+

1

x2

=2x2，2x₁x₂²-x₁-x₂=0，根據(jù)x₂∈（1，2），得出

1

x1

+

1

x2

的范圍．

解答：解：（1）當(dāng)k=2時，f（x）=|x²-1|+x²+2x=0
分兩種情況討論：
①當(dāng)x²-1≥12，即x≥

13

或x≤-

13

時，方程即為2x²+2x-1=0，
解得x=

-1± 3

2

，又因為0＜

-1+ 3

2

＜1，舍去，所以x=

-1- 3

2

．     …（2分）
②當(dāng)x²-1＜0，即-1＜x＜1，方程化為1+2x=0，解得x=-

1

2

，…（3分）
由①②得，當(dāng)k=2時，方程f（x）=0的解是x1=

-1- 3

2

，x2=-

1

2

．   …（4分）
（2）當(dāng)|x|≥1時，方程為2x²+kx-1=0，方程的判別式△＞0，…（5分）
若方程f（x）=0無實數(shù)解，則方程2x²+kx-1=0的兩實根必須都在區(qū)間（-1，1）內(nèi)
所以

f(-1)=1-k＞0 f(1)=1+k＞0 -1＜- k 4 ＜1

，解得k∈（-1，1）．                            …（8分）
當(dāng)|x|＜1時，方程為kx+1=0，當(dāng)k=0時，方程無實數(shù)解，
當(dāng)k≠0時，方程kx+1=0的解為x=-

1

k

，若方程f（x）=0無實數(shù)解，則|-

1

k

|≥1，即k∈[-1，1]．          …（10分）
綜上所述，當(dāng)k∈（-1，1）時，方程f（x）=0無實數(shù)解．                  …（11分）
（3）不妨設(shè)0＜x₁＜x₂＜2，
因為f(x)=

2x2+kx-1  |x＞1 kx+1|x|≤1

所以f（x）在（0，1]上是單調(diào)函數(shù)，故f（x）=0在（0，1]上至多一個解，…（12分）
若x₁，x₂∈（1，2），則x1x2=-

1

2

＜0，故不符合題意，
因此x₁∈（0，1]，x₂∈（1，2）．                                        …（13分）
由f（x₁）=0，得k=-

1

x1

，所以k≤-1；
由f（x₂）=0，得k=-

1

x2

-2x2，所以-

7

2

＜k＜-1，
故當(dāng)-

7

2

＜k＜-1時，方程f（x）=0在（0，2）上有兩個解．                      …（15分）
方法一：
因為x₁∈（0，1]，所以x1=-

1

k

，而方程2x²+kx-1=0的兩根是

-k± k2+8

4

，
因為x₂∈（1，2），所以x2=

-k+ k2+8

4

，
則

1

x1

+

1

x2

=-k+

4

k2+8 -k

=

1

2

(

k2+8

-k)，
而y=

k2+8

-k在(-

7

2

，-1)上是減函數(shù)，則

k2+8

-k＜

(- 7 2 )2+8

+

7

2

=8，
因此

1

x1

+

1

x2

＜4．                                                  …（18分）
方法二：
因為x₁∈（0，1]，所以kx₁+1=0；①
因為x₂∈（1，2），所以2x₂²+kx₂-1=0，②
由①②消去k，得
即

1

x1

+

1

x2

=2x2，2x₁x₂²-x₁-x₂=0，
又因為x₂∈（1，2），所以

1

x1

+

1

x2

＜4．                                 …（18分）

點評：本小題主要考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系、帶絕對值的函數(shù)、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．