Question

設f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（2）=0，當x＞0時，有xf′（x）-f（x）＜0恒成立，則不等式x²f（x）＞0的解集是（　　）

• A、（-∞，-2）∪（0，2）
• B、（-2，0）∪（2，+∞）
• C、（-2，2）
• D、（-∞，-2）∪（2，+∞）

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)求導法則，把x＞0時xf′（x）-f（x）＜0轉(zhuǎn)化為

f(x)

x

在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減；
由f（2）=0，得f（x）在（0，+∞）內(nèi)的正負性；
由奇函數(shù)的性質(zhì)，得f（x）在（-∞，0）內(nèi)的正負性．
從而求得x²f（x）＞0的解集．

解答：解：∵當x＞0時，xf′（x）-f（x）＜0，
∴

xf′(x)-f(x)

x2

＜0，即[

f(x)

x

]′＜0，
∴

f(x)

x

在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減．
∵f（2）=0，
∴在（0，2）內(nèi)f（x）＞0；在（2，+∞）內(nèi)f（x）＜0．
又∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴在（-∞，-2）內(nèi)f（x）＞0；在（-2，0）內(nèi)f（x）＜0．
又不等式x²f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．
∴解集為（-∞，-2）∪（0，2）．
故選：A．

點評：本題考查了不等式解集的求法，解題的關鍵是應用求導法則以及函數(shù)的單調(diào)性、奇偶函數(shù)得出f（x）在定義域上的正負性，是易錯題．