Question

如圖，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥面AEC．
（1）求證：AE∥平面BFD；
（2）求AC與平面BCE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）連AC、BD交于G，連GF，因BC=EB，BF⊥面AEC，則F是EC中點(diǎn)，根據(jù)中位線可知GF∥AE，AE?面BFD，F(xiàn)G?面BFD，根據(jù)線面平行的判定定理可知AE∥面BFD；
（2）根據(jù)AD⊥面ABE，則BC⊥面ABE，從而BC⊥AE，因BF⊥面AEC，則AE⊥BF，從而AE⊥面BCE，根據(jù)線面所成角的定義可知∠ACE就是AC與平面BCE所成的角，在三角形ACE中求出此角的正弦值即可．

解答：解：（1）證明：連AC、BD交于G，連GF．
∵BC=EB，BF⊥面AEC，∴F是EC中點(diǎn)．∴GF∥AE
∵AE?面BFD，F(xiàn)G?面BFD．∴AE∥面BFD
（2）AD⊥面ABE，
∴BC⊥面ABE，
∴BC⊥AE
∵BF⊥面AEC，
∴AE⊥BF，
∴AE⊥面BCE，
∴∠ACE就是AC與平面BCE所成的角
∴sin∠ACE=

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點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的判斷，以及直線與平面所成角等有關(guān)知識(shí)，考查學(xué)生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．