Question

已知正項(xiàng)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₅=35，a₃-1是a₁+1和a₄的等比中項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）若b_n=

an2-3

Sn-n

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，并由條件確定d的范圍，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、以及題意列出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，求出公差和首項(xiàng)后代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式化簡即可；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求出的a_n和S_n代入bn=

an2-3

Sn-n

化簡，根據(jù)式子的特點(diǎn)進(jìn)行裂項(xiàng)，再代入數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，利用裂項(xiàng)相消法求出T_n．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則d＞0，
由S₅=35，a₃-1是a₁+1和a₄的等比中項(xiàng)得，

5a1+10d=35 (a1+2d-1)2=(a1+1)(a1+3d)

，化為d²+3d-10=0，
解得，d=2或d=-5（舍），則a₁=3，
所以，a_n=a₁+（n-1）•d=2n+1，
S_n=

n(a1+an)

2

=

n(3+2n+1)

2

=n²+2n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
bn=

an2-3

Sn-n

=

(2n+1)2-3

n2+2n-n

=

4n2+4n-2

n2+n

=4-

2

n2+n

=4-2(

1

n

-

1

n+1

)
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=4n-2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（(

1

n

-

1

n+1

)）]
=4n-2（1-

1

n+1

）=4n-2+

2

n+1

，
即數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=4n-2+

2

n+1

．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，此題的關(guān)鍵是根據(jù)條件和公式列出方程組，考查了基礎(chǔ)知識(shí)和運(yùn)算能力．