Question

【題目】已知.

(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值.

(2)若有兩個(gè)極值求實(shí)數(shù)的取值范圍。

(3)若，且，比較與的大小，并說明理由。

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，.

（2）.

（3）；理由見解析.

【解析】分析：（1）對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求得函數(shù)的最小值，得到結(jié)果；

（2）根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，得到其導(dǎo)數(shù)等于零有兩個(gè)不等的正根，且在根的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號是相反的，分類討論求得結(jié)果；

（3）利用導(dǎo)數(shù)研究其大小，借助于基本不等式求得結(jié)果.

詳解：（1）∵ ∴，

∴，令，解得：，列表得：

		0
	單調(diào)減	極小值	單調(diào)增

∴的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，；

（2）∵有兩個(gè)極值點(diǎn)

∴在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且零點(diǎn)左右的的符號的相反．

設(shè)，則．

當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)增，在上最多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)時(shí)，由，解得：

∴時(shí)，，時(shí)，

∴在上單調(diào)增，則上單調(diào)減，

若，則，所以，在上最多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；若，，又，

（取其他小于0的函數(shù)值也可）

設(shè)，，則在上恒成立

∴在上單調(diào)減 ∴，則時(shí)，

∵ ∴ ∴

∴在、上各有一個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)符號相反

∴

（3）結(jié)論：．下面證明：

由（1）知：在上單調(diào)減，在上單調(diào)增

∵ ∴，即

∴，同理

∴

∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，且

∴，則

∴ ∴．