Question

已知拋物線y²=2px（p＞0），有一內(nèi)接直角三角形，直角頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，一直角邊所在直線方程為y=2x，斜邊長(zhǎng)等于4

13

，求拋物線的方程．

Answer 1

分析：不妨設(shè)已知直角三角形為OAB，直線OA的方程為y=2x，由題意可知OA⊥OB，從而有K_OB=-

1

kOA

，則可求直線OB的方程，聯(lián)立方程可求A的坐標(biāo)，進(jìn)而可求AO，同理可求OB，由勾股定理可得，AB²=OA²+OB²，代入可求P，進(jìn)而可求拋物線的方程．

解答：解：如圖，設(shè)A（

y 2 A

2p

，y_A），B（

y 2 B

2p

，y_B），根據(jù)題意得：

yA= y 2 A p ，① p 2 × y 2 B 2p +pyB=0，② (xA-xB)2+(yA-yB)2=208，③

由①可得y_A=p，則x_A=

p

2

，由②可得y_B=-4p，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（8p，-4p），
由③得p=

8

5

，
因此所求拋物線方程為y²=

16

5

x．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了直線與拋物線的相交關(guān)系及方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，解題中的關(guān)鍵是由直線的垂直關(guān)系得到直線OB的斜率．