Question

如圖，在正方形ABCD中，已知AB=2，M為BC的中點(diǎn)，若N為正方形內(nèi)（含邊界）任意一點(diǎn)，則

AM

•

AN

的取值范圍是

[0，6]

．

Answer 1

分析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB方向?yàn)閤軸正方向，在平面內(nèi)建立合適的坐標(biāo)系，將向量的數(shù)量積用坐標(biāo)表示，再利用線性規(guī)劃方法解決問(wèn)題．求出數(shù)量積的范圍．

解答：解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB方向?yàn)閤軸正方向，
以AD方向?yàn)閥軸方向建立坐標(biāo)系，則

AM

=（2，1）
設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則 

AN

=（x，y），則0≤x≤2，0≤y≤2
令Z=

AM

•

AN

=2x+y．
將A，B，C，D四點(diǎn)坐標(biāo)依次代入得：
Z_A=0，Z_B=4，Z_C=6，Z_D=2
故Z=

AM

•

AN

的最大值為6，最小值為0，

AM

•

AN

的取值范圍是[0，6]．
故答案為：[0，6]．

點(diǎn)評(píng)：向量的主要功能就是數(shù)形結(jié)合，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，但關(guān)鍵是建立合適的坐標(biāo)系，將向量用坐標(biāo)表示，再將數(shù)量積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為方程或函數(shù)問(wèn)題．