Question

（2012•洛陽一模）如圖，矩形ABCD和ABEF中，AF=AD=2AB=2，二面角C-AB-E的大小為60°，G為BC的中點．
（1）求證：AG⊥DE；
（2）求二面角A-ED-G的余弦值．

Answer 1

分析：（1）證明EG⊥平面ABCD，可得AG⊥EG，利用勾股定理，證明AG⊥DG，從而可得AG⊥平面DEG，即可得到結論；
（2）以G為坐標原點，GD為x軸，GA為y軸，GE為z軸，建立空間直角坐標系，求出面EDG的法向量、平面AED的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求得結論．

解答：（1）證明：由題意，AB⊥BG，AB⊥BE，所以∠EBC為二面角C-AB-E的平面角，即∠EBG=60°
∵ABCD和ABEF是矩形
∴AB⊥平面BGE
∵AB?平面ABCD，
∴平面EBG⊥平面ABCD
∵BE=2，BG=1
∴由余弦定理可得EG=

3

∴BE²=BG²+EG²
∴EG⊥BC
∵AG?平面ABCD，
∴EG⊥平面ABCD
∴AG⊥EG，
在矩形ABCD中，G為BC中點，∴AG=DG=

2

，AD=2
∴AG²+DG²=AD²
∴AG⊥DG
∵EG∩DG=G
∴AG⊥平面DEG
∵DE?平面DEG
∴AG⊥DE；
（2）解：以G為坐標原點，GD為x軸，GA為y軸，GE為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（0，

2

，0），D（

2

，0，0），E（0，0，

3

）
∴

AE

=（0，-

2

，

3

），

AD

=（

2

，-

2

，0）
面EDG的法向量為

n1

=

GA

=（0，

2

，0）
設平面AED的一個法向量為

n2

=（x，y，z），則由

n2 • AE =0 n2 • AD =0

，可得

- 2 y+ 3 z=0 2 x- 2 y=0

∴可取

n2

=（3，3，

6

）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

6

4

∴二面角A-ED-G的余弦值為

6

4

．

點評：本題考查線面垂直的判定與性質，考查面面角，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．