Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)為常數(shù)，數(shù)列滿足：，，．

（1）當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）在（1）的條件下，證明對有：；

（3）若，且對，有，證明：．

 

Answer 1

【答案】

（1），

（2）可以用裂項(xiàng)法求和進(jìn)而證明也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明

（3）可以用基本不等式證明也可以用導(dǎo)數(shù)證明，還可以利用數(shù)列的單調(diào)性證明

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，，

兩邊取倒數(shù)，得，                                           ……2分

故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，

，，．                                      ……4分

（2）證法1：由（1）知，故對

         ……6分

所以 

．                            ……9分

[證法2：①當(dāng)n=1時(shí)，等式左邊，等式右邊，左邊=右邊，等式成立；                                                  ……5分

②假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，

即，

則當(dāng)時(shí)

這就是說當(dāng)時(shí)，等式成立，                                       ……8分

綜①②知對于有：

．                      ……9分】

（3）當(dāng)時(shí)，

則，                              ……10分

∵，

∴                      ……11分

．                          ……13分

∵與不能同時(shí)成立，∴上式“=”不成立，

即對，．                                    ……14分

【證法二：當(dāng)時(shí)，，

則                                       ……10分

又

                                         ……11分

令則                      ……12分

當(dāng)所以函數(shù)在單調(diào)遞減，故當(dāng)所以命題得證                   ……14分】

【證法三：當(dāng)時(shí)，，            ……11分

 

數(shù)列單調(diào)遞減，

，

所以命題得證                                                        ……14分】

考點(diǎn)：本小題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和以及與數(shù)列有關(guān)的不等式的證明.

點(diǎn)評：本小題比較綜合，既考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，也考查了數(shù)列的前n項(xiàng)的求解，還考查了數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用以及基本不等式、導(dǎo)數(shù)等的綜合應(yīng)用，難度較大，要求學(xué)生具有較高的分析問題、轉(zhuǎn)化問題、解決問題的能力和運(yùn)算求解能力.