Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-2（n=1，2，3…），數列{b_n}中，b₁=1，點P（b_n，b_n+1）在直線y=x+2上．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式a_n和b_n； 
（2）設c_n=a_n•b_n，求數列{c_n}的前n項和T_n，并求滿足T_n＜167的最大正整數n．

Answer 1

分析：（1）兩式作差即可求數列{a_n}的相鄰兩項之間的關系，找到規(guī)律即可求出通項；對于數列{b_n}，直接利用點P（b_n，b_n+1）在直線y=x+2上，代入得數列{b_n}是等差數列即可求通項；
（2）先把所求結論代入求出數列{c_n}的通項，再利用數列求和的錯位相減法即可求出其各項的和，然后解不等式即可．

解答：解：S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，又S_n-S_n-1=a_n，（n≥2，n∈N^*）

∴an=2an-2an-1， ∵an≠0，

．
∴

an

an-1

=2，(n≥2，n∈N*)，即數列{an}是等比數列．

∵a1=S1

，∴a1=2a1-2，即a1=2，
∴a_n=2ⁿ
∵點P（b_n，b_n+1）在直線y=x+2上，∴b_n+1=b_n+2∴b_n+1-b_n=2，即數列{b_n}是等差數列，又b₁=1，∴b_n=2n-1
（2）∵c_n=（2n-1）2ⁿ，∴T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）2ⁿ，
∴2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）2ⁿ+（2n-1）2ⁿ⁺¹因此：-T_n=1×2+（2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ）-（2n-1）2ⁿ⁺¹
即：-T_n=1×2+（2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）-（2n-1）2ⁿ⁺¹∴T_n=（2n-3）2ⁿ⁺¹+6

∵Tn＜167，即：(2n-3)2n+1+6＜167， 于是(2n-3)2n+1＜161 又由于當n=4時，(2n-3)2n+1=(2×4-3)25=160， 當n=5時，(2n-3)2n+1=(2×5-3)26=448， 故滿足條件Tn＜167的最大正整數n為4

點評：本題考查了數列求和的錯位相減法．錯位相減法適用于通項為一等差數列乘一等比數列組成的新數列．屬于中檔題．