Question

已知函數(shù)f（x）對一切實(shí)數(shù)x，y∈R都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值；
（2）求 f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對一切實(shí)數(shù)x，y∈R都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且題中已經(jīng)給出了f（1）=0，要求的值是f（0），所以，令x=1，y=0即可求f（0）；
（2）在（1）中已經(jīng)求出了f（0）的值，只需在給出的等式中取y=0即可求 f（x）的解析式．

解答：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）對一切實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立．且f（1），所以令x=1，y=0，
代入上式得f（1）-f（0）=2，所以f（0）=-2．
（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）對一切實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，所以令y=0，代入上式得
f（x）-f（0）=x（x+1），又由（1）知f（0）=-2，所以f（x）=x（x+1）-2．

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，解決抽象函數(shù)的問題一般應(yīng)用賦值法．關(guān)鍵是結(jié)合已知條件和要求的結(jié)論對變量恰當(dāng)賦值．