Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

1

2

x-

1

8

sin2x-

3

8

cos2x．
（1）試判定函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并說明理由；
（2）已知函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A（x₀，f（x₀））處的切線斜率為

1

2

，求

2sin2x0+sin2x0

1+tanx0

的值．

Answer 1

f′(x)=

1

2

-

1

4

cos2x+

3

4

sin2x=

1

2

sin(2x-

π

6

)+

1

2

≥0，
∴f（x）定義域內(nèi)單調(diào)遞增．（4分）
（2）由f′(x0)=

1

2

sin(2x0-

π

6

)+

1

2

=

1

2

，
得：sin(2x0-

π

6

)=0．∴2x0-

π

6

=kπ(k∈Z)，
得2x0=kπ+

π

6

(k∈Z)，（4分）
∴

2sin2x0+sin2x0

1+tanx0

=

2sinx0cosx0(sinx0+cosx0)

cosx0+sinx0

=sin2x0=sin(kπ+

π

6

)=

3 2 k取偶數(shù)時(shí) - 3 2 k取奇數(shù)時(shí)

（6分）