Question

四棱錐A-BCDE的正視圖和俯視圖如下，其中正視圖是等邊三角形，俯視圖是直角梯形．
（I）若F為AC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M在棱AD上移動時，是否總有BF丄CM，請說明理由．
（II）求三棱錐的高．

Answer 1

解：（Ⅰ）總有BF丄CM．理由如下：
取BC的中點(diǎn)O，連接AO，
由俯視圖可知，AO⊥平面BCDE，CD?平面BCDE，
所以AO⊥CD …（2分）
又CD⊥BC，AO∩BC=O，所以CD⊥面ABC，
因?yàn)锽F?面ABC，
故CD⊥BF．
因?yàn)镕是AC的中點(diǎn)，所以BF⊥AC．…（4分）
又AC∩CD=D
故BF⊥面ACD，
因?yàn)镃M?面ACD，所以BF丄CM．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AO⊥平面BCDE，，
又在正△ABC中，AO=，
所V_A-CDE==，…（8分）
在直角△ABE中，AE=，
在直角梯形BCDE中，DE=，
在直角△ACD中，AD=2，
在△ADE中，S_△ADE===，…（10分）
設(shè)三棱錐C-ADE的高為h，則V_C-ADE=，
又V_A-CDEV=_C-ADE，
可得，解得h=．
所以，三棱錐C-ADE的高為．…（12分）
分析：（Ⅰ）總有BF丄CM．取BC的中點(diǎn)O，連接AO，由AO⊥平面BCDE，可得AO⊥CD，可證CD⊥面ABC，有CD⊥BF，根據(jù)F是AC的中點(diǎn)，可得BF⊥AC，從而可得BF⊥面ACD，進(jìn)而可得BF丄CM；
（Ⅱ）先計算V_A-CDE==，設(shè)三棱錐C-ADE的高為h，再計算V_C-ADE=，利用V_A-CDEV=_C-ADE，即可求得三棱錐C-ADE的高．
點(diǎn)評：本題考查線面垂直，考查三棱錐體積的計算，掌握線面垂直的判定，正確計算體積是關(guān)鍵．