Question

關(guān)于函數(shù)f(x)=1-

1

2

cos2x-(

1

2

)|x|，有下面四個結(jié)論：①f（x）是偶函數(shù)；②當(dāng)x＞2010時，f(x)＞

1

2

恒成立；③f（x）的最大值是

3

2

；④f（x）的最小值是-

1

2

．其中正確結(jié)論的序號是

①④

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意：依次分析命題：①運用f（-x）和f（x）關(guān)系，判定函數(shù)的奇偶性；②取特殊值法，判定不等式是否成立；③④利用cos2x和（

1

2

）^|x|，求函數(shù)f（x）的最值，綜合可得答案．

解答：解：y=f（x）的定義域為x∈R，且f（-x）=f（x），則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，因此結(jié)論①正確．
對于結(jié)論②，取特殊值當(dāng)x=1000π時，x＞2010，

1

2

cos2x=

1

2

，且（

1

2

）^1000π＞0
∴f（1000π）=

1

2

-（

1

2

）^1000π＜

1

2

，因此結(jié)論②錯．
又f(x)=1-

1

2

cos2x-(

1

2

)|x|，-1≤cos2x≤1，
∴-

1

2

≤1-

1

2

cos2x≤

3

2

，（

1

2

）^|x|＞0
故1-

1

2

cos2x-（

1

2

）^|x|＜

3

2

，即結(jié)論③錯．
而cos2x，（

1

2

）^|x|在x=0時同時取得最大值，
所以f（x）=1-

1

2

cos2x-（

1

2

）^|x|在x=0時可取得最小值-

1

2

，即結(jié)論④是正確的．
故答案為：①④

點評：此題涉及到函數(shù)奇偶性的判斷，同時還涉及到三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的范圍問題，利用不等式的放縮求新函數(shù)的范圍．此題考查了函數(shù)奇偶性的判斷及借助不等式知識對函數(shù)值域范圍進行判斷．