Question

已知橢圓C的中心在原點O，離心率，右焦點為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓的上頂點為A，在橢圓C上是否存在點P，使得向量與共線？若存在，求直線AP的方程；若不存在，簡要說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設橢圓C的方程為，由離心率焦點坐標可得及，再根據(jù)a²=b²+c²，聯(lián)立方程組解出即可；
（2）假設橢圓C上是存在點P（x，y），使得向量與共線，由向量共線及點P在橢圓上得方程組，解出可得點P坐標，進而可求得直線AP方程；
解答：解：（1）設橢圓C的方程為，
∵橢圓C的離心率，右焦點為，∴，
∵a²=b²+c²，∴，
故橢圓C的方程為．       
（2）假設橢圓C上是存在點P（x，y），使得向量與共線，
∵，，∴，即，（1）
又∵點P（x，y）在橢圓上，∴（2），
由（1）、（2）組成方程組解得，或，
∴P（0，-1），或，
當點P的坐標為（0，-1）時，直線AP的方程為x=0，
當點P的坐標為時，直線AP的方程為，
故橢圓上存在滿足條件的點P，直線AP的方程為x=0或．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、橢圓方程的求解及向量共線問題，考查學生分析問題解決問題的能力．