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          已知拋物線S的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，的三個頂點都在拋物線上，且的重心為拋物線的焦點，若BC所在直線的方程為
            
             （I）求拋物線S的方程；
            
             （II）若O是坐標原點，P，Q是拋物線S上的兩動點，且滿足.試說明動直線PQ是否過定點.
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          解：(I) 設拋物線S的方程為   顯然                              
            
          由 可得                                 
            
          由，有，或
            
          設則
            
                             
            
          設，由的重心為則，
            
            
          ∵點A在拋物線S上，∴  ∴                            
            
          ∴拋物線S的方程為                                                        
            
             （II）當動直線的斜率存在時，設動直線方程為，顯然   
            
          設，∵，∴
            
          ∴ ∴                                          
            
          將代入拋物線方程，得∴
            
          從而∴
            
          ∵，∴∴動直線方程為，
            
          此時動直線PQ過定點                                            
            
          當直線PQ的斜率不存在時，顯然軸，又，
            
          ∴△POQ為等腰直角三角形.
            
          由 得到，此時直線PQ亦過點. 
            
          綜上所述，動直線PQ過定點.
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
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				相關習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知拋物線S的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，△ABC的三個頂點都在拋物線上，且△ABC的重心為拋物線的焦點，若BC所在直線l的方程為4x+y-20=0．
          （I）求拋物線S的方程；
          （II）若O是坐標原點，P、Q是拋物線S上的兩動點，且滿足PO⊥OQ．試說明動直線PQ是否過一個定點．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          已知拋物線S的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，△ABC的三個頂點都在拋物線上，且△ABC的重心為拋物線的焦點，若BC所在直線l的方程為4x+y-20=0．
          （I）求拋物線S的方程；
          （II）若O是坐標原點，P、Q是拋物線S上的兩動點，且滿足PO⊥OQ．試說明動直線PQ是否過一個定點．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知拋物線S的頂點在坐標原點,焦點在x軸上,△ABC的三個頂點都在拋物線上,且△ABC的重心為拋物線的焦點,若BC所在直線l的方程為4x+y-20=0.
          (1)求拋物線S的方程;
          (2)若O是坐標原點,P、Q是拋物線S上的兩個動點,且滿足OP⊥OQ.試說明動直線PQ是否過定點.
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：2008年湖北省武漢市華中師大一附中高三五月調考數(shù)學試卷（文理合卷）（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          已知拋物線S的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，△ABC的三個頂點都在拋物線上，且△ABC的重心為拋物線的焦點，若BC所在直線l的方程為4x+y-20=0．
          （I）求拋物線S的方程；
          （II）若O是坐標原點，P、Q是拋物線S上的兩動點，且滿足PO⊥OQ．試說明動直線PQ是否過一個定點．
          

			
          

			
          
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