Question

已知向量

p

=（sinx，cosx+sinx），

q

=（2cosx，cosx-sinx），x∈R，設(shè)函數(shù)f（x）=

p

•

q

．
（I）求f(

π

3

)的值及函數(shù)f（x）的最大值；
（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）由已知中向量

p

=（sinx，cosx+sinx），

q

=（2cosx，cosx-sinx），x∈R，函數(shù)f（x）=

p

•

q

．我們根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，我們易求出函數(shù)f（x）的解析式，再結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)，我們即可求出求f(

π

3

)的值及函數(shù)f（x）的最大值；
（2）由（1）所得的f（x）的解析式，我們結(jié)合三角函數(shù)求值域的方法，構(gòu)造關(guān)于相位ωx+φ的不等式組，求出滿(mǎn)足條件的自變量的取值范圍，即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（I）∵

p

=（sinx，cosx+sinx），

q

=（2cosx，cosx-sinx），
∴f（x）=

p

•

q

=（sinx，cosx+sinx）•（2cosx，cosx-sinx）
=2sinxcosx+cos²x-sin²x
=sin2x+cos2x
=

2

sin(2x+

π

4

)
∴f(

π

3

)=

3 -1

2

∴函數(shù)f（x）的最大值為

2

．
當(dāng)且僅當(dāng)x=

π

8

+kπ（k∈Z）時(shí)
函數(shù)f（x）取得最大值為

2

．
（II）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z）．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A確定，由周期由ω決定，即要求三角函數(shù)的周期與最值一般是要將其函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)，再根據(jù)最大值為|A|，最小值為-|A|，周期T=

2π

ω

進(jìn)行求解．