Question

已知函數(shù)，滿足f（2）=-2，
（1）求實數(shù)m的值；
（2）判斷y=f（x）在區(qū)間（-∞，m-1]上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=kx有三個不同實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用f（2）=-2即m＞0即可求出；
（2）利用（1）先求出其解析式及單調(diào)區(qū)間，再利用定義證明即可；
（3）通過對x分別就x＞0、x=0、x＜0三種情況的解的情況討論即可．
解答：解：（1）由f（2）=-2，m＞0⇒，m＞0，解得m=1．
（2）由（1）可知：m=1，∴．
因此只研究函數(shù)f（x）==在區(qū)間（-∞，0]上的單調(diào)性即可．
此函數(shù)在區(qū)間（-∞，0]上單調(diào)遞增．
證明：設(shè)x₁＜x₂≤0，
則f（x₁）-f（x₂）==，
∵x₁＜x₂≤0，∴x₁-x₂＜0，4-x₁＞0，4-x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞增．
（3）原方程即為（*）
①當(dāng)x=0時，方程成立，即x=0是方程（*）的一個實數(shù)根；
②當(dāng)x＜0時，方程（*）?，x＜0?＜0?，
即當(dāng)時，方程（*）在區(qū)間（-∞，0）有唯一一個實數(shù)根，此外無解；
③當(dāng)x＞0且x≠4時，方程（*）?，x＞0且x≠4?x=＞0，解得或k＞0．
∴時，方程（*）在區(qū)間（0，+∞）有一個實數(shù)根，此外無解．
綜上可知：要使原方程有三個不同實數(shù)根，當(dāng)且僅當(dāng)k滿足原方程在（-∞，0）和（0，+∞）
各有一個實數(shù)解時才成立，此時，．
∴實數(shù)k的取值范圍為．
點評：熟練掌握函數(shù)的單調(diào)性和分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．