Question

【題目】如圖，設(shè)橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，為橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn).已知橢圓的離心率為，且.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)是橢圓上位于軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線，分別與直線相交于點(diǎn)，，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）利用離心率、和橢圓的關(guān)系可構(gòu)造方程組求得的值，進(jìn)而得到橢圓方程；

（2）設(shè)，代入橢圓方程可化簡整理得到，由此可假設(shè)兩直線方程，求得坐標(biāo)，進(jìn)而得到，利用基本不等式可求得最小值.

（1）設(shè)橢圓的長半軸長為，短半軸長為，半焦距為.

，則，即，，則.

，，即，.

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

（2）由題意得：點(diǎn)，點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)，則，即.

，即，.

設(shè)直線的方程為，則直線的方程為.

分別聯(lián)立得：點(diǎn)，點(diǎn).

（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），

的最小值為.