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        1. 定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x),如果對(duì)任意x∈(0,+∞),恒有f(kx)=kf(x)(k≥2,k∈N*)成立,則稱f(x)為k階縮放函數(shù).
          (1)已知函數(shù)f(x)為二階縮放函數(shù),且當(dāng)x∈(1,2]時(shí),f(x)=1+log
          1
          2
          x
          ,求f(2
          2
          )
          的值;
          (2)已知函數(shù)f(x)為二階縮放函數(shù),且當(dāng)x∈(1,2]時(shí),f(x)=
          2x-x2
          ,求證:函數(shù)y=f(x)-x在(1,8)上無零點(diǎn);
          (3)已知函數(shù)f(x)為k階縮放函數(shù),且當(dāng)x∈(1,k]時(shí),f(x)的取值范圍是[0,1),求f(x)在(0,kn+1](n∈N)上的取值范圍.
          分析:(1)根據(jù)二階縮放函數(shù)的定義,直接代入進(jìn)行求值即可;
          (2)根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義和性質(zhì)判斷函數(shù)y=f(x)-x在(1,8)上無零點(diǎn);
          (3)根據(jù)k階縮放函數(shù)成立的條件建立條件關(guān)系即可求出結(jié)論.
          解答:解:(1)由
          2
          ∈(1, 2]
          得,f(
          2
          )=1+log
          1
          2
          2
          =
          1
          2
          …(2分)
          由題中條件得f(2
          2
          )=2f(
          2
          )=2×
          1
          2
          =1
          …(4分)
          (2)當(dāng)x∈(2i,2i+1](i=0,1,2)時(shí),
          x
          2i
          ∈(1,2]
          ,依題意可得:f(x)=2f(
          x
          2
          )=22f(
          x
          22
          )=…=2if(
          x
          2i
          )=2i
          2•
          x
          2i
          -(
          x
          2i
          )
          2
          =
          2i+1x-x2
          .…(6分)
          方程f(x)-x=0?
          2i+1x-x2
          =x
          ?x=0或x=2i,0與2i均不屬于(2i,2i+1]((i=0,1,2))…(8分)
          當(dāng)x∈(2i,2i+1]((i=0,1,2))時(shí),方程f(x)-x=0無實(shí)數(shù)解.
          注意到(1,8)=(20,21]∪(21,22]∪(22,23),所以函數(shù)y=f(x)-x在(1,8)上無零點(diǎn).…(10分)
          (3)當(dāng)x∈(kj,kj+1],j∈Z時(shí),有
          x
          kj
          ∈(1,k]
          ,依題意可得:f(x)=kf(
          x
          k
          )=k2f(
          x
          k2
          )=…=kjf(
          x
          kj
          )

          當(dāng)x∈(1,k]時(shí),f(x)的取值范圍是[0,1)…(12分)
          所以當(dāng)x∈(kj,kj+1],j∈Z時(shí),f(x)的取值范圍是[0,kj).…(14分)
          由于(0,kn+1]=(kn,kn+1]∪(kn-1,kn]∪…∪(k0,k]∪(k-1,k0]∪…(16分)
          所以函數(shù)f(x)在(0,kn+1](n∈N)上的取值范圍是:[0,kn)∪[0,kn-1)∪…∪[0,k0)∪[0,k-1)∪…=[0,kn).…(18分)
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查新定義的應(yīng)用,正確理解k階縮放函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵,綜合性強(qiáng),難度較大.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知定義在(0,1)上的函數(shù)f(x),對(duì)任意的m,n∈(1,+∞)且m<n時(shí),都有f(
          1
          n
          )-
          f(
          1
          m
          )=f(
          m-n
          1-mn
          )
          an=f(
          1
          n2+5n+5
          )
          ,n∈N*,則在數(shù)列{an}中,a1+a2+…a8=( 。
          A、f(
          1
          2
          )
          B、f(
          1
          3
          )
          C、f(
          1
          4
          )
          D、f(
          1
          5
          )

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)f(x)是定義在(0,1)上的函數(shù),且滿足:①對(duì)任意x∈(0,1),恒有f(x)>0;②對(duì)任意x1,x2∈(0,1),恒有
          f(x1)
          f(x2)
          +
          f(1-x1)
          f(1-x2)
          ≤2
          ,則下面關(guān)于函數(shù)f(x)判斷正確的是(  )

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2011•順義區(qū)二模)已知定義在區(qū)間[0,
          2
          ]上的函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=
          4
          對(duì)稱,當(dāng)x
          4
          時(shí),f(x)=cosx,如果關(guān)于x的方程f(x)=a有解,記所有解的和為S,則S不可能為(  )

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          填空題
          (1)已知
          cos2x
          sin(x+
          π
          4
          )
          =
          4
          3
          ,則sin2x的值為
          1
          9
          1
          9

          (2)已知定義在區(qū)間[0,
          2
          ]
          上的函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=
          4
          對(duì)稱,當(dāng)x≥
          4
          時(shí),f(x)=cosx,如果關(guān)于x的方程f(x)=a有四個(gè)不同的解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為
          (-1,-
          2
          2
          )
          (-1,-
          2
          2
          )


          (3)設(shè)向量
          a
          ,
          b
          ,
          c
          滿足
          a
          +
          b
          +
          c
          =
          0
          ,(
          a
          -
          b
          )⊥
          c
          ,
          a
          b
          ,若|
          a
          |=1
          ,則|
          a
          |2+|
          b
          |2+|
          c
          |2
          的值是
          4
          4

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•湖州二模)定義在(0,
          π
          2
          )上的函數(shù)f(x),f′(x)是它的導(dǎo)函數(shù),且恒有f(x)<f′(x)tanx成立,則( 。

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          同步練習(xí)冊(cè)答案