Question

兩個(gè)人射擊，甲射擊一次中靶概率是p₁，乙射擊一次中靶概率是p₂，若兩人各射擊5次，甲的方差是 ，且•=6，
（1）求 p₁、p₂的值；
（2）兩人各射擊2次，中靶至少3次就算完成目的，則完成目的概率是多少？
（3）兩人各射擊一次，中靶至少一次就算完成目的，則完成目的概率是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）甲射擊5次，中靶次數(shù)k服從二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布的方差計(jì)算公式Dξ_甲=5p₁ （1-p₁），即可求得p₁，根據(jù)•=6，可求得p₂的值；
（2）兩人各射擊2次，中靶至少3次就算完成目的，分兩種情況討論，共擊中3次的概率，根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)事件A恰好發(fā)生k的概率公式，代入即可求得結(jié)果；同理可求出擊中4次的概率，這兩種情況互斥，根據(jù)概率的加法公式即可求得結(jié)果；
（3）兩人各射擊一次，中靶至少一次就算完成目的，該事件的對(duì)立事件為“兩人各射擊一次，沒有中靶”，利用對(duì)立事件的概率公式即可求得結(jié)果．
解答：解：（1）由題意可知 ξ_甲～B（5，p₁），
∴Dξ_甲=5p₁ （1-p₁）=⇒p₁²-p₁+=0⇒p₁=；
又 •=6，
∴p₂=．   
（2）兩類情況：
∴共擊中3次概率C₂²（ ） ² （1-） ×C₂¹（ ） ¹ （ ） ¹+C₂¹（ ） ¹ （ ） ¹×C₂²（ ） ²（ ） 
=；
共擊中4次概率C₂²（ ） ² （ ） ×C₂²（ ） ² （ ） =． 
∴所求概率為 +=．  
（3）設(shè)事件A，B分別表示甲、乙能擊中．
∵A，B互相獨(dú)立，
∴P（• ）=P（） P（）=（1-P（A） ）（1-P（B） ）=（1-p₁）（1-p₂）=×=，
∴“兩人各射擊一次，中靶至少一次就算完成目的”的概率為：1-P（• ）=
點(diǎn)評(píng)：這一類型的試題在連續(xù)幾年的新課程卷都出現(xiàn)了，重點(diǎn)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)了《考試說明》所要求的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．該題仍然是常規(guī)題，要求考生耐心細(xì)致，審題能力較強(qiáng)，并善于利用材料進(jìn)行分析說明，屬中檔題．